Ecuatii diferentiale simple
Ecuatiile diferentiale sunt un subiect de analiza matematica foarte important, avand aplicatii in cadrul matematicii precum si in alte domenii ale stiintelor (fizica, chimie, biologie, etc.)
DEFINITIE: Se numeste ecuatie diferentiala o relatie intre o variabila independenta x, functia cautata y = y(x) si derivatele sale y� , y�� ,�,y , de forma F (x,y�,y��,�,y ) = 0.
Daca functia cautata y = y (x) este o functie de o singura variabila x, ecuatia diferentiala se numeste ordinara.
Exemple de modelare prin ecuatii diferentiale a unor fenomene din domeniul stiintific, economic, social.
f� + kf = 0 (ecuatia dezintegrarii substantelor radioactive; f(t) reprezinta cantitatea de substanta radioactivala momentul t, iar k > 0 este un coefficient de proportionalitate al dezintegrarii substantei respective; f�(t) reprezinta viteza de dezintegrare radioactiva).
= 9,8 (ecuatia caderii unui corp in apropierea suprafetei Pamantului).
mf��(t) = F (legea a doua a lui Newton; daca miscarea se face pe o axa, atunci notand f(t) pozitia punctului material (de masa m) la momentul t, viteza de deplasare la momentul t este f�(t) si acceleratia este f��(t); F reprezinta forta care actioneaza asupra punctului, ea depinzand in fiecare moment t de pozitia f(t) a punctului si de viteza f�(t) a acestuia).
2Ө� = -9,8 � sinӨ (ecuatia pendulului matematic; Ө depinde de timpul t si este unghiul format defirul inextensibil cu verticala )
.
= 0.01 � P � (0.0001) P (ecuatia corespunde unui model demografic; P fiind functie de timp si reprezinta numarul de indivizi la momentul t).
Lq�(t) + Rq�(t) + q (t) (descrie evolutia unui circuit electric supus unei tensiuni E(t), circuit care contine o rezistenta R, o inductanta L, un condensator de capacitate C, toate legate in serie; q (t) reprezinta sarcina electrica a condensatorului la momentul t; q�(t) = I (t) este intensitatea curentului in circuit la momentul t).
Termenul de ecuatie sugereaza adesea deea de solutie. In ciuda varietatii metodelor de rezolvare a ecuatiilor diferentiale, exista numeroase ecuatii care nu pot fi rezolvate complet.
Este necesara deci o clasificare a ecuatiilor diferentiale, pentru a vedea, functie de tip, ce metoda poate fi utilizata pentru rezolvarea ei.
DEFINITE: Se numeste ordinul ecuatiiei diferentiale, cel mai mare dintre ordinele derivatei care figureaza in ecuatie.
Solutiile ecuatiilor diferentiale
Am intalnit notiunea de solutie relativ la ecuatii algebrice, trigonometrice, vectoriale, matriceale. Prin analogie, ar trebui ca solutie pentru o ecuatie diferentiala sa fie o functie (avand un numar de derivate) pentru care ecuatia sa fie verificata.Numai ca situatia nu este intotdeauna simpla cum se poate vedea in cazul ecuatiei de ordinal I .
DEFINITIE: Se numeste solutie a unei ecuatii diferentiale de ordin n pe un interval (a ,b) o functie y = ö (x) definite pe acest interval cu derivatele sale pana la ordinal n si pentru care substituind y = ö (x) in ecuatia diferentiala, aceasta devine o identitate in raport cu x din (a ,b).
A determina toate functiile care sunt sulutii ale unei ecuatii diferentiale inseamna a rezolva aceasta ecuatie diferentiala.
Se numeste solutie particulara a unei ecuatii diferentiale , o solutie obtinuta plecand de la solutia generala ö (x , c) pentru o valoare oarecare determinate a constantei arbitrare c.
A gasi o solutie particulara, deci o functie y = y(x) care satisface o ecuatie diferentiala si in acelasi timp una sau mai multe conditii suplimentare se spune ca se rezolva o ecuatie diferentiala cu conditii initiale sau ca se rezolva o problema Cauchy.
Ecuatii diferentiale de ordinal I
DEFINITIE: Forma generala a unei ecuatii diferentiale de ordinal I este
F ( x , y, y�) = 0
unde y = y( x ) este functie derivabila definita pe (a , b).
Ecuatii diferentiale cu variabile separabile
Formal o ecuatie diferentiala cu variabile separabile este de tipul y� = f(x) g(x) , unde f,g sunt functii continue.
Vom neglija o abordare teoretica a acestei probleme, dar diferitele dificultati le vom ilustra prin probleme.
Pentru a rezolva aceasta ecuatie trebuie inmultiti sau impartiti ambii membrii ai ecuatiei printr-o expresie astfel incat sa se obtina un membru depinzand numai de x, iar celalalt membru sa depinda de y (se spune ca am separate variabilele in cei doi membri) si apoi se integreaza ambii membrii.
Impartirea ambilor membrii ai ecoatie print-o expresie continand necunoscutele x si y poate conduce la pierderea de solutii care anuleaza aceasta expresie.
Primul pas al rezolvarii acestei ecuatii este de a separa variabilele in ecuatia data rescind-o .
Al doilea pas este de integrare a fiecarui membru (acest lucru este posibil teoretic daca de exemplu f,g sunt continue pe un interval ( a , b ) si daca g nu se anuleaza pe acel interval).
Powered by
http://www.referat.ro/cel mai complet site cu referate
Sam Iun 07, 2008 5:10 pm
