Preview referat "Polinoame, statistica si probabilitati"

Egalitatea a două şiruri f = (ak), k(0, g = (bk), k(0 se notează f = g şi are loc dacă ak = bk,(
) k
0 (spunem ca două şiruri sunt egale dacă ele coincid pe componente). Din aceasta mulţime de şiruri F(N,C) ne interesează o submulţime P, formată din aplicaţiile pentru care termenii şirului (ak), k(0 sunt nuli cu excepţia unui număr finit dintre ei. Deci elementele lui P au forma: (a0,a1,�,an,0,0,�) notat (a0,a1,�,an,0
), cu an ≠ 0, unde an (elementul de rang maxim nenul) se numeşte coeficientul dominant, la care se adaugă elementul (0,0,�,0,�).

Pe mulţimea P definim două operaţii algebrice:
1) Adunarea. +: P
P
P, care asociază fiecărui cuplu (f, g) ( P
P elementul notat f + g ( P, numit suma lui f cu g, unde dacă f=(a0,a1,�,an,0
), iar g=(b0,b1,�,bn,0
), atunci f+g=(a0+b0,a1+b1,�) (spunem că adunarea şirurilor din P se face pe componente). Este clar ca f +g(P, deoarece ak+bk=0,(
) k>max(n,m).
2) Înmulţirea. ˇ : P
P
P, care asociază fiecărui cuplu (f,g)(P
P elementul notat f ˇ g(P, numit produsul lui f cu g, unde dacă f = ( a0,a1,�,an,0
), g = (b0,b1,�,bn,0
), atunci f ˇ g = (c0,c1,c2,�,ck,�), unde c0 = a0b0, c1 = a0b1+a1b0, �, ck = a0bk+a1bk-1+�+ak-1b1+akb0, � . să observăm ca şi aici f ˇ g
P deoarece ck = 0,(() k>n+m (pentru k = n + m, ck = anbm)

1.1 Proprietăţile adunării în P

A1) Adunarea este asociativă, adică

(f + g) + h = f + (g + h), (() f,g,h(P

Rezultă imediat din definiţia adunării şi a egalităţii a două elemente din P precum şi din asociativitatea adunării pe C.

A2) Adunarea este comutativă, adică

f + g = g + f, (() f,g(P
Rezultă imediat din definiţia adunării şi a egalităţii a două elemente din P precum şi din comutativitatea adunării pe C.

A3) Elementul neutru pentru adunare este 0=(0,0,0,�,0,�)
P şi are proprietatea

f + 0 = 0 + f, (() f(P

A4) Orice f(P admite un element notat (-f) şi numit opusul lui f pentru care

f + (-f) = (-f) + f = 0, (() f(P

Dacă f = ( a0,a1,�,an,0
), atunci �f = (-a0,-a1,�,-an,0
).
Spunem ca P împreună cu operaţia de adunare şi proprietăţile A1-A4 formează un grup comutativ.

1.2 Proprietăţile înmulţirii în P

I1) Înmulţirea este asociativă, adică

(f ˇ g) ˇ h = f ˇ (g ˇ h), (() f,g,h(P

I2) Înmulţirea este comutativă, adică

f ˇ g = g ˇ f, (() f,g(P

I3) Elementul unitate pentru înmulţire este 1 = (1,0
)
P şi are proprietatea

f ˇ 1 = 1 ˇ f = f, (() f (P

Se spune că P împreună cu operaţia de înmulţire şi proprietăţile I1-I3 este un monoid comutativ.
Cele două operaţii introduse mai sus, adunarea şi înmulţirea, sunt legate între ele prin proprietatea de distributivitate.

Distributivitatea: Înmulţirea este distributivă în raport cu adunarea, adică

f ˇ (g + h) = f ˇ g + f ˇ h, (() f,g,h(P

În concluzie mulţimea P înzestrată cu cele două operaţii având proprietăţile A1-A4, I1-I3 şi distributivitatea înmulţirii în raport cu adunarea se spune că formează un inel comutativ unitar. Să observăm că elementele de forma (a,0
), a,b(C se adună şi se înmulţesc în acelaşi mod ca şi elementele lui C,
(a,0
) + (b,0
) = (a+b,0
),
(a,0
) ˇ (b,0
) = (ab,0
).
Acestea ne permit să identificăm astfel de şiruri din P cu elementele corespunzătoare din C, adică (a,0
) = a, (() a(C.
Desemnam elementul (0,1,0
) = X şi numim X nedeterminată pe C.
Utilizând operaţia de înmulţire din P rezultă
X = (0,1,0
), X2 = (0,0,1,0,0
), X3 = (0,0,0,1,0
), Xn = (0,0,�,0,1,0
).
De asemenea avem pentru a
C: (0,0,�,0,a,0
) = aXn = Xna.

Cu aceste observaţii, un element f = (a0, a1, �, an,0∞) din P se scrie:

n
f = a0 + a1X2 + �+ an Xn = ∑ akXk, unde am pus X0 = 1
K=0

Mulţimea P pe care am definit operaţiile de adunare şi înmulţire se numeşte mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi, iar un element f scris sub forma
n
f = a0 + a1X2 + �+ an Xn = ∑ akXk, unde am pus X0 = 1
K=0
reprezintă forma algebrică a polinomului f de nedeterminată X.
Numerele a0, a1, �, an ( C se numesc coeficienţii polinomului, iar termenii akXk, k =
îi vom numi monoame ale polinomului f.

Am văzut mai sus că mulţimea P a polinoamelor cu coeficienţi complecşi împreună cu adunarea şi înmulţirea are o structură de inel comutativ unitar, numit inelul polinoamelor cu coeficienţi complecşi de nedeterminată X.

Observaţie. Se impune să avem grijă în a considera litera X ca reprezentând un element variabil din C; litera X desemnează un polinom particular. Ideea că X reprezintă un element variabil din C provine din confuzia ce se face între polinom cu coeficienţii în C şi funcţia polinomială definită pe C cu valori în C, ataşată polinomului respectiv.
Notaţie. Vom nota mulţimea P a polinoamelor cu coeficienţi complecşi de nedeterminată X prin C[X]. Alte submulţimi ale acestei mulţimi sunt:
Z[X] = submulţimea polinoamelor peste Z de nedeterminată X (sau având coeficienţi întregi).
Q[X] = submulţimea polinoamelor peste Q de nedeterminată X (sau având coeficienţi raţionali )
R[X] = submulţimea polinoamelor peste R de nedeterminată X (sau având coeficienţi reali).
Să reformulăm acum egalitatea, suma şi produsul a două polinoame din C[X] scrise sub forma algebrică.

1. (Egalitatea a două polinoame) Dacă f, g(C[X],
f = a0+ a1X + a2X2 + � + an Xn , g = b0+ b1X + b2X2 + � + bm Xm ,
atunci polinomul f este egal cu g şi scriem :
f = g
ai = bi , (() i (0.
2. (Suma a două polinoame) Suma polinomului f cu polinomul g este polinomul notat cu f + g şi egal cu
f + g = (a + b) + (a 1 + b1)X + (a2 + b2)X2 + �
3. (Produsul a două polinoame) Produsul polinomului f cu polinomul g este polinomul notat cu fg , egal cu
fg = a0b0 + (a0b1 + a1b0)X + (a0b2 +a1b1 + a2b0)X2 + �

Deci :
1) Două polinoame sunt egale dacă coeficienţii termenilor care conţin pe X la aceleaşi puteri sunt egali. În particular, un polinom este identic nul dacă toţi coeficienţii săi sunt nuli.
2) Adunarea polinoamelor se face adunând între ei termenii asemenea (cu puteri egale ale lui X).
3) Înmulţirea a două polinoame se face înmulţind fiecare termen din primul polinom cu fiecare din al doilea polinom, după care se reduc termenii asemenea.

poate poligoane nu polimoame